Kesebangunan dan Kongruensi

A. Kesebangunan
Di sini saya akan menuliskan tentang konsep yang saya fahami dan pastinya berdasar kog. Saya sering kurang sepakat dengan siswa yang hanya meminta cara cepatnya, ketika dia bertanya “bagaimana cara cepatnya Pak?”, saya jawab “lihat samping kamu, jawabannya apa, kalau sama-sama belum selesainya, tanya ke guru kamu”. 😀

Sebelum masuk ke materi kekongruenan, di sini akan dibahas terlebih dahulu konsep tentang kesebangunan. Apa itu kesebangunan? ini definisinya.

“Two polygons are similar polygons if corresponding angles have the same measure and corresponding sides are in proportion”

yang artinya kurang lebih,

“Dua bangun datar (segi banyak) dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian memiliki ukuran yang sama dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki proporsi yang sama” Sumber : klik

Oke, dari sini sudahkah faham? saya mencoba menjelaskan dengan bahasa saya sendiri ya. Ketika kita memiliki dua bangun datar dan kita ingin memeriksa, apakah dua bangun tersebut sebangun. First Step adalah kita menghitung besar setiap sudut dari bangun tersebut, apabila besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, kita bisa mencurigainya bahwa dua bangun tersebut sebangun. Agar lebih yakin lagi, kita lanjutkan Second Step, kita periksa panjang masing-masing sisi bangun tersebut. Kita buat perbandingan masing-masing sisi yang bersesuaian jika hasilnya memiliki perbandingan yang sama, sudah dipastikan bahwa dua bangun tersebut sebangun.

Ingat, pada kesebangunan hanya bentuknya yang sama/mirip/same/sami, bukan luasannya yang sama besar.

Ini contohnya :

Perhatikan dua bangun dibawah ini !

Nah, secara sekilas kita lihat, kedua bangun segitiga di atas merupakan bangun segitiga yang luasannya tidak sama, karena lebih besar ΔABC dari pada ΔDEF. Perhatikan sudut-sudut pada masing-masing segitiga, ∠ACB =∠DFE dan ∠CAB=∠FDE, sudah pasti bahwa ∠FED=∠CBA. Nah, satu syarat terpenuhi, selanjutnya kita periksa panjang masing-masing sisi dari masing-masing segitiga. Karena kita tidak tahu panjang sisi masing-masing segitiga, kita tidak boleh langsung mengatakan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun, karena kita belum memenuhi syarat dua segitiga sebangun.

“Pelajaran yang bisa diambil, kita tidak boleh men-judge sesuatu, apapun sesuatu itu, manusia, hewan, tumbuhan, alam sekitar dengan sudut pandang kita sendiri tanpa dasar yang valid”

Sekarang kita perhatikan gambar bangun segitiga di bawah ini :

Okay! kita cek yang pertama apa dulu? Sudut, benar. Perhatikan $latex ∠ZXY = ∠JLK$, $latex ∠XYZ = ∠LJK$, dan sudah pasti kedua sudut sisanya sama. Sealnjutnya kita periksa panjang masing-masing sisi pada masing-masing segitiga. Sisi , adalah masing-masing panjang sisi pada ΔXYZ, kemudian sisi , adalah masing-masing panjang sisi pada ΔJKL. Kita sudah tahu panjang masing-masing sisi kan, selanjutnya kita buat perbandingan masing-masing sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga seperti berikut ini.

Nah, kita dapatkan bahwa perbandingan setiap sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama yaitu . Nah, kalau sudah seperti ini, sudut sudah sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar, so pasti bangun ini sebangun. Okeh, sampai sini konsep kesebangunan, mudah kan? saya aja yang bukan anak cerdas bisa, masa kamu yang cerdas ga bisa. 🙂 Kalau ada pertanyaan, apapun itu tentang kesebangunan, tanyakan aja ya.

Oia, catatan tambahan ya, cara di atas digunakan untuk mengecek semua bentuk bangun dengan sisi-n, maksudnya bisa untuk mengecek bangun persegi, persegi panjang, segi lima, segi enam, dan segi lainnya. Jadi, kenapa saya memakai segitiga, agar lebih simple menjelaskannya.

B. Kekongruenan

Nah, kalau ini, kekongruenan. Bahasa jawanya, kalau dua bangun itu kongruen dikatakan bahwa dua bangun itu podo [sama] baik sisi maupun sudutnya, sama-sama besar sudutnya dan sama-sama panjang masing-masing sisi-sisinya. Definisinya sebagai berikut ini,

“Two figures are congruent if all corresponding lengths are the same, and if all corresponding angles have the same measure. Colloquially, we say they “are the same size and shape,” though they may have different orientation. (One might be rotated or flipped compared to the other.)”

“Dua bangun dikatakan kongruen jika semua panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama besar dan begitu juga sudutnya. Mudahnya, kita katakan bahwa dua bangun itu sama ukurannya dan sama bentuknya.” sumber : klik

Dari definisi saja sudah sangat jelas kan? so pasti sangat jelaslah. Nah, di sini dibahas untuk segitiga saja, karena dari segitiga kita dapat membuat banyak bangun lainnya. Maksudnya bagaimana? hampir semua bangun dapat dibentuk dari beberapa segitiga, seperti berikut ini.

Mulai dari bentuk segi lima, kita dapat membaginya menjadi beberapa segitiga. Bangun persegi, juga dapat dibentuk menjadi beberapa segitiga dan juga bangun persegi panjang. Ini bisa anda kembangkan sendiri ya untuk bangun-bangun yang lainnya. Kalau lingkaran? bisa ga dibentuk dari segitiga, coba lihat link ini, simpulkan sendiri ya.

Nah, bisa terima kan kenapa segitiga di sini menjadi tokoh utama pada jalan cerita kekongruenan. Oke, kita mulai.

Bersumber dari text book Encyclopedia Of Mathematics by James Tanton, PH.D. Pada halaman 1 dia menuliskan bahwa untuk mengecek apakah dua buah segitiga kongruen dengan menggunakan cara yang dituliskan AAA/AAS/ASA/SAS/SSS, dimana A dan S adalah singkatan yang mewakili Angel dan Side. Bahasa Indonesianya adalah sudut dan sisi. Kita buat kesepakatan ya, Angel kita ganti sudut/Sd dan Side kita ganti sisi/S, jadi aturannya menjadi Sd-Sd-Sd/Sd-Sd-S/Sd-S-Sd/S-Sd-S/S-S-S.

Kalau sudah, berikut ini penjelasannya masing-masing.

Aturan Sd-Sd-Sd :Jika ada tiga sudut interior dari satu segitiga yang sama dengan tiga sudut interior pada segitiga yang satunya, maka dua bangun segitiga tersebut sebangun.

Aturan Sd-Sd-Ss dan Sd-Ss-Sd :Jika ada dua sudut interior dan salah satu panjang sisi segitiga sama panjang layaknya aturan tersebut (bilang), maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Aturan Ss-Sd-Ss :Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang sama panjang dan sudutnya juga sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Aturan Ss-Ss-Ss :Jika ada dua segitiga yang semua panjang sisi-sisinya sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Cacatan : Ingat bahwa, sudut,sisi yang sama panjang berdasarkan aturan-aturan di atas adalah sudut dan sisi yang bersesuaian.

Berikut contohnya :

Nah, gambar yang pertama ini memenuhi aturan yang pertama, yaitu Ss-Ss-Ss dan sudut yang sama merupakan sudut-sudut yang letaknya saling bersesuaian.

Berikutnya, gambar yang ke dua merupakan .gambar yang memenuhi aturan yang Sd-Sd-Ss. Jadi sudut yang saya beri tanda silang dengan warna yang hijau dan pink itu merupakan sudut yang bersesuaian yang sama besar. Sudut dengan warna pink pada segitiga sebelah kiri sama denga sudut dengan warna pink pada segitiga sebelah kanan, dimana segitiga (sebelah kanan) sudah diputar ke kiri.

Segitiga yang ke tiga, merupakan segitiga yang memenuhi aturan Sd-Ss-Sd. Sama seperti halnya dua segitiga sebelumnya, tanda yang saya berikan itu untuk membantu memahami tentang sudut dan sisi yang bersesuaian dari dua segitiga.